Equation différentielle linéaire à coefficients constants du second ordre
Dans ce tp , nous allons apprendre ce qu'est une équation différentielle et apprendre à en résoudre quelques unes.
Équation différentielle : définition et premiers exemples.
On appelle équation caractéristique associée à l'équation différentielle homogène $ax''+bx'+cx=0$ l'équation du second degré $ar^2+ br + c = 0$.
Donner les équations caractéristiques des équations différentielles suivantes :
- $y''+3y'+y=0$
- $-4x''+x=0$
Notons $\Delta=b^2-4ac$ le discriminent de l'équation caractéristique $ar^2+ br + c = 0$.
- Si $\Delta>0$, alors la solution générale de l'équation différentielle $ax''+bx'+cx=0$ est l'ensemble des fonctions de la formes : $$t\longmapsto \lambda e^{r_1t}+\mu e^{r_2t}$$ où $r_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $r_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
sont les racines de l'équation caractéristiques et $\lambda$ et $\mu$ deux réels quelconques.
- Si $\Delta=0$, alors la solution générale de l'équation différentielle $ax''+bx'+cx=0$ est l'ensemble des fonctions de la formes : $$t\longmapsto (\lambda t+\mu) e^{rt}$$ où $r=-\frac{b}{2a}$ est la solution de l'équation caractéristique
et $\lambda$ et $\mu$ deux réels quelconques.
- Si $\Delta<0$, alors la solution générale de l'équation différentielle $ax''+bx'+cx=0$ est l'ensemble des fonctions de la formes : $$t\longmapsto [\lambda \cos(\beta t)+\mu \sin(\beta t)] e^{\alpha t}$$ où $r_1=\alpha+i\beta$ et $r_2=\alpha-i\beta$
sont les solutions de l'équation caractéristiques et $\lambda$ et $\mu$ deux réels quelconques.
Résoudre
- $y''-3y'+y=0$
- $y''+y'+4y=0$
- $y''-2y'+y=0$
- $2y''-5y'+y=0$
- $y''+2y'+y=0$
Correction des exercices 1 et 2
Soient a, b et c trois nombres réels tels que a soit non nul et u une fonction de la variable t définie sur un intervalle I.
Les solutions sur I de l'équation différentielle $ax'' + bx' + cx = u(t)$ sont les fonctions définies sur I par : $$x(t) = x_0(t) + x_p(t)$$ où $x_0$ est la solution générale de l'équation homogène associée et $x_p$ est une solution particulière
de l'équation différentielle.
Plan de résolution
- Résolution sur $\mathbb{R}$ de l'équation homogène $ax'' + bx' + cx = 0 $ associée .
- Recherche d'une solution particulière sur I à $ax'' + bx' + cx = u(t)$.
- Solution générale sur I de $ax'' + bx' + cx = u(t)$.
$x''+2x'-3x=e^{2t}$, $I =\mathbb{R}$
Résoudre de (on cherchera une solution particulière sous la forme $x_p(t) = A e^{2t}$)
$y''-4y=t\cos(2t)$, $I =\mathbb{R}$
Résoudre de (on cherchera une solution particulière sous la forme $y_p(t) = At cos2t$)
Déterminer la solution g de l'équation différentielle (E6) vérifiant : $g(0)=\frac{1}{2}$ et $g'(0)=0$.
Correction de l'exercice 4
Soit (E) l'équation différentielle : $4y'' + 5 y' + y = 2 e^{-2x}(7x-11)$.
- Résoudre l'équation sans second membre associée à (E).
- Vérifier que la fonction g définie par $g(x) = 2x e^{-2x}$ est une solution de (E).
- En déduire l'ensemble des solutions de (E).
- Déterminer la solution particulière f de (E) dont la courbe passe par le point $A(0 ;-1)$ et $f'(0)=0$.
Correction de l'exercice 5